Bénéfice maximal dans l'électroménager

Une entreprise fabrique chaque jour entre 0 et 40 appareils électroménagers.

On a modélisé le résultat de cette entreprise, exprimé en euros, par la fonction `B` définie sur l'intervalle \([0~;40]\) par \(B(x)=x^{3}-72x^{2}+1~296x-2~000\) où `x` représente le nombre d'appareils électroménagers fabriqués.

1. On dit que l'entreprise réalise un bénéfice si son résultat est strictement positif.

On a représenté ci-dessous la courbe représentative de la fonction `B` .

    a. Préciser la grandeur représentée sur chaque axe et préciser son unité de mesure.

    b. Avec la précision permise par le graphique, donner à l'aide d'un intervalle le nombre d'appareils électroménagers que doit fabriquer cette entreprise pour réaliser un bénéfice.

2. Démontrer que, pour tout réel `x` de l'intervalle \([0~;40]\) , \(B'(x)=3(x-36)(x-12)\) .

3. Étudier le signe de \(B'(x)\) sur l'intervalle \([0~;40]\) puis dresser le tableau de variations de la fonction `B` sur cet intervalle.

4. En déduire le nombre d'appareils électroménagers que doit fabriquer cette entreprise pour que le bénéfice soit maximal et donner ce bénéfice maximal.